En ocasiones necesitamos resolver ejercicios en los que tenemos triángulos que no son rectángulos. La Ley del seno y la del coseno se aplica para todos los triángulos. Veamos el siguiente triángulo:
En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:
Ejemplo:
Estrategia:
Problemas de práctica adicional:
Dado un Δ supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b, así como la medida de c. Podemos realizar el siguiente procedimiento para construir la ecuación:
ΔαMβ tiene lados: y, c , b-x
Usando el teorema de Pitágoras: c2 = y2 + (b – x)2
= y2+ b2 – 2bx + x2
c2= (x2 +y2) + b2– 2bx
ΔγMβ tiene lados: x, y, a por lo tanto: a2 = x2 + y2
entonces podemos sustituir en la ecuación anterior: c2= (a2 ) + b2– 2bx
Del ΔγMβ también podemos obtener que
cos γ = x/a t x= a cos γ
sustituyendo: c2= a2 +b2– 2b(a cos γ)
La ecuación obtenida es la siguiente:
En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:
Ejemplo:
En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m. ¿Cuánto es a?
Los datos son:
α = 60°
b= 3m
c = 4m
a=?
La ecuación a utilizar es:
Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:
a2= b2 + c2– 2bc cos α
a2= (3m)2 + (4m)2– (2) (3m) (4m) cos 60°
a2= 9m2 + 16m2 – (24m2) (0.8660)
a2= 25m2 – (24m2) (0.5) =
a2= 25m2 – 12m2
a2= 13m2
Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora:
La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m
Problemas de práctica adicional:
En la siguiente figura utilizada en el ejemplo, calcula la medida de los ángulos que faltan usando la ley del coseno.
Un video para mayor facilidad de entendimiento
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